Sistem persamaan linear

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan adalah himpunan persamaan yang saling berhubungan. Variabel merupakan nilai yang dapat berubah-ubah. Persamaan linear adalah suatu persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah 1 (satu). Sistem persamaan linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan suatu sistem yang terdiri atas dua persamaan linier yang mempunyai dua variabel.

Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV):

Terdapat beberapa cara/metode untuk menyelesaikan permasalahan terkait Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Metode-metode tersebut diantaranya adalah metode substitusi, eliminasi, gabungan.

A. Metode Sustitusi

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi:

1. Mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d
TRIK!! Pilih persamaan yang paling mudah untuk diubah
2. Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan yang lainnya.
3. Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai x atau y.
4. Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah ketiga pada salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai dari varabel yang belum diketahui.
5. Penyelesaiannya adalah (x, y).

B. Metode Eliminasi

Untuk Menyelesaikan SPLDV menggunakan Metode Eliminasi Digunakan Langkah-Langiah Sebagai Berikut :

1). Menyamakan Koefesien Dari Variabel Yang Akan Dihilangkan Dengan Cara Mengalihkan Kedua Sistem Persamaan Dengan Bilangan Yang Sesuai.

2). Melakukan Operasi Penjumlahan Atau Pengurangan Untuk Menghilangkan Satu Variabel.

C. Metode Gabungan

Metode Ini Dilakukan Dengan Cara Mengeliminasikan Salah Satu Variabel, Kemudian Dilanjutkan Dengan Metode Substitusi Dan Eliminasi.

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Yang Mempunyai Variabel x, y, Dan Z Adalah :
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + kz = l
Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.

Contoh Soal :

1. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan metode substitusi:
x + y = 8
2x + 3y = 19

Jawab : 
x + y = 8…. (1)
2x + 3y = 19 … (2)
x + y = 8
x = 8
Subtitusikan x = y – 8 ke dalam persamaan 2

2 (8- y) + 3y = 19

16 – 2y + 3y = 19 
16 + y = 19
y = 3

Subtitusikan y = 3 ke dalam persamaan 1

x + 3 = 8
x = 5
Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 5 dan y = 3

2. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
2x – y = 7
x + 2y = 1

Jawab :

Eliminasi x
2x – y = 7 | x1 –> 2x – y = 7 … (3)
x + 2y = 1 | x2 –> 2x – 4y = 2 … (4)
2x – y = 7
x + 2y = 1 –
-5y = 5
y = -1

Eliminasi y
2x – y = 7 | x2 –> 4x – 2y = 14 … (5)
x + 2y = 1 | x1 –> x + 2y = 1 … (6)
4x – 2y = 14
x – 2y = 1 – 
5x =15
x = 3
Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 3 dan y = -1

3. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode campuran:

x + y = -5
x – 2y = 5

jawab :

Eliminasi x
x + y = -5
x – 2y = 5 –
3y = -9
y = -3

Substitusi y
x + (-3) = -5
x = -2

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = -2 dan y = -3

4. Umur Melly 7 tahun lebih muda dari umur Ayu. Jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Tentukanlah umur mereka masing-masing !

Jawab :
Misalkan umur melly = x dan umur ayu = y, maka
y – x = 7… (1)
y + x = 43… (2)
y = 7 + x… (3)

subtitusikan y = 7 + x kedalam persamaan 2

7 + x + x = 43
7 + 2x = 43
2x = 36
x = 18
y = 7 + 18 = 25

Jadi, umur melly adalah 18 tahun dan umur ayu 25 tahun.

5. Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari persamaan berikut!

3x – y + 2z = 15 ……..(i)

2x + y + z = 13 ……..(ii)

3x + 2y + 2z = 24 …….(iii)

Penyelesaian:

Gunakan metode eliminasi terhadap 2 persamaan terlebih dahulu:

3x – y + 2z = 15 | X 1 → 3x – y + 2z = 15

2x + y + z = 13 | X 2 → 4x + 2y + 2z = 26

____________________ –

-x – 3y = -11 ……….(iv)

2x + y + z = 13 | X 2 → 4x + 2y + 2z = 26

3x + 2y + 2z = 24 | X 1 → 3x + 2y + 2z = 24

________________________ –

x = 2…….(v)

Karena dari persamaan (v) kita sudah mendapatkan nilai x, sekarang tinggal gunakan metode substitusi terhadap persamaan (iv)

-x – 3y = -11

-(2) – 3y = -11

3y = -11 + 2

3y = 9

y = 3

Sekarang kita sudah mendapat nilai y. Langsung saja subtitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan i, ii, atau iii untuk mengetahui nilai z:

2x + y + z = 13

2(2) + 3 + z = 13

4 + 3 + z = 13

7 + z = 13

z = 13 – 7

z = 6

Maka himpunan penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut adalah {2; 3; 6}

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x + 4y – 3z = 3

2x – y + 4z = 21

5x + 2y + 6z = 46

Jawab :

Agar lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)
3x + 4y – 3z = 3 …………………………….(1)
2x – y + 4z = 21 …………………………….(2)
5x + 2y + 6z = 46 …………………………….(3)
Selanjutnya persamaan (1) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 4, sehingga diperoleh
3x + 4y – 3z = 3 |1| → 3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21 |4| → 8x – 4y+16z = 84 +
. 11x + 13z = 87 ……………..(4)
Berikutnya persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 2, sehingga diperoleh
5x + 2y + 6z = 46 |1| → 5x + 2y + 6z = 46
2x – y + 4z = 21 |2| → 4x – 2y + 8z = 42 +
. 9x + 14z = 88 …………..(5)
Sekarang persamaan (5) dikali 11 dan persamaan (4) dikali 9 sehingga diperoleh
9x + 14z = 88 |11| 99x +154z = 968
11x + 13z = 87 |9| 99x + 117z=783 _
. 37z = 185
. z = 5
Nilai z=5 kita subtitusi ke persamaan (4)
11x + 13z = 87
11x + 13.5 = 87
11x + 65 = 87
11x = 22
x = 2
Nilai x=2 dan z=5 kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga
5x +2y +6z = 46
5.2 +2y +6.5 = 46
10 + 2y + 30 = 46
2y = 6
y = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)}

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan subsitusi!

Jawab:

8. Dengan menggunakan metode subtitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) berikut ini.

x + y – z = –3

x + 2y + z = 7

2x + y + z = 4

Jawab :

Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.

⇒ x + y – z = –3

⇒ x = –3 – y + z

■ Subtitusikan peubah x ke dalam persamaan kedua

⇒ x + 2y + z = 7

⇒ (–3 – y + z) + 2y + z = 7

⇒ –3 + y + 2z = 7

⇒ y + 2z = 7 + 3

⇒ y + 2z = 10 ……………….. Pers. (3)

■ Subtitusikan variabel x ke dalam persamaan ketiga

⇒ 2x + y + z = 4

⇒ 2(–3 – y + z) + y + z = 4

⇒ –6 – 2y + 2z + y + z = 4

⇒ –y + 3z = 4 + 6

⇒ –y + 3z = 10 ……………….. Pers. (4)

■ Persamaan (3) dan (4) membentuk SPLDV y dan z:

y + 2z = 10

–y + 3z = 10

■ Selanjutnya kita selesaikan SPLDV tersebut dengan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana yaitu persamaan pertama. Dari persamaan pertama, kita peroleh

⇒ y + 2z = 10

⇒ y = 10 – 2z

■ Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan kedua

⇒ –y + 3z = 10

⇒ –(10 – 2z) + 3z = 10

⇒ –10 + 2z + 3z = 10

⇒ –10 + 5z = 10

⇒ 5z = 10 + 10

⇒ 5z = 20

⇒ z = 4

■ Subtitusikan nilai z = 4 ke salah satu SPLDV, misal y + 2z = 10 sehingga kita peroleh

⇒ y + 2z = 10

⇒ y + 2(4) = 10

⇒ y + 8 = 10

⇒ y = 10 – 8

⇒ y = 2

■ Selanjutnya, subtitusikan nilai y = 2 dan z = 4 ke salah satu SPLTV, misal x + 2y + z = 7 sehingga kita peroleh

⇒ x + 2y + z = 7

⇒ x + 2(2) + 4 = 7

⇒ x + 4 + 4 = 7

⇒ x + 8 = 7

⇒ x = 7 – 8

⇒ x = –1

Dengan demikian, kita peroleh nilai x = –1, y = 2 dan z = 4. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(–1, 2, 4)}

9. Ani, Nia, dan Ina pergi bersama-sama ke toko buah. Ani membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Ina membeli 1 kg apel, 3 kg anggur dan 2 kg jeruk dengan harga Rp80.000,000. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur dan 4 kg jeruk seluruhnya adalah….

Pembahasan :

misal : apel = x, anggur = y dan jeruk = z

Ani : 2x + 2y + z = 67.000 … (i)

Nia : 3x + y + z = 61.000 … (ii)

Ina : x + 3y + 2z = 80.000 … (iii)

dari (i) diperoleh :

z = 67.000 – 2x – 2y … (iv)

kemudian substitusi (iv) ke persamaan (ii) dan (iii), sehingga diperoleh :

3x + y + z = 61.000 … (ii)

3x + y + 67.000 – 2x – 2y = 61.000

x – y = -6.000 … (v)

x + 3y + 2z = 80.000 … (iii)

x + 3y + 2(67.000 – 2x – 2y) = 80.000

x + 3y + 134.000 – 4x – 4y = 80.000

-3x – y = -54.000 … (vi)

dari (v) diperoleh :

y = x + 6.000 … (vii)

kemudian substitusi (vii) ke (vi), sehingga diperoleh :

-3x – y = -54.000 … (vi)

-3x – (x + 6.000) = -54.000

-3x – x – 6.000 = -54.000

54.000 – 6.000 = 4x

48.000 = 4x

12.000 = x (harga apel per kg)

substitusi nilai x ke persamaan (vii), sehingga diperoleh :

y = 12.000 + 6.000

= 18.000 (harga anggur per kg)

Kemudian substitusi nilai x dan y ke persamaan (iv), sehingga diperoleh :

z = 67.000 – 2(12.000) – 2(18.000)

= 67.000 – 24.000 -2(18.000)

= 67.000 – 24.000 – 36.000

= 7.000 (harga anggur per kg)

Jadi, harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk adalah :

= x + y + 4z

= 12.000 + 18.000 + 4(7.000)

= 12.000 + 18.000 + 28.000

= 58.0000

10. tiga tahun lalu umur A sama dengan 2 kali umur B. Sedangkan dua tahun yang akan datang, 4 kali umur A sama dengan umur B ditambah 36 tahun. Umur A sekarang adalah…

Pembahasan :

Misalkan umur A = a dan umur B = b, maka
3 tahun yang lalu, umur A sama dengan 2 kali umur B, sehingga
a – 3 = 2(b – 3)
⇔ a – 3 = 2b – 6
⇔ a = 2b – 6 + 3
⇔ a = 2b – 3 … (1)
dan 2 tahun yang akan datang, 4 kali umur A sama dengan umur B ditambah 36, sehingga
4(a + 2) = b + 2 + 36
⇔ 4a + 8 = b + 38
⇔ 4a = b + 38 – 8
⇔ 4a = b + 30 … (2)

Persamaan (1) kita substitusikan ke persamaan (2), diperoleh
4a = b + 30
⇔ 4(2b – 3) = b + 30
⇔ 8b – 12 = b + 30
⇔ 8b – b = 30 + 12
⇔ 7b = 42
⇔ b =
⇔ b = 6 … (3)

Kemudian, persamaan (3) kita substitusikan ke persamaan (1), diperoleh
a = 2b – 3
⇔ a = 2(6) – 3
⇔ a = 12 – 3
⇔ a = 9

Jadi, umur A sama dengan 9 tahun dan umur B sama dengan 6 tahun.